Download e-book for iPad: Algorithmische Mathematik by Winfried Hochstättler (auth.)

By Winfried Hochstättler (auth.)

Mit diesem Buch wollen wir verschiedene Teilgebiete der Mathematik aus algorithmischer Perspektive vorstellen und dabei auch Implementierungs- und Laufzeitaspekte diskutieren. Gleichzeitig möchten wir, bei einer verkürzten Grundausbildung in Mathematik in naturwissenschaftlichen und informatischen Studiengängen, möglichst viele Teilaspekte der Mathematik vorstellen und vielleicht zu einer vertiefenden Beschäftigung mit dem einen oder anderen Aspekt anregen.

Unser Ziel ist es dabei nicht, den Leser zu einem versierten Anwender der besprochenen Algorithmen auszubilden, sondern wir wollen, immer ausgehend von konkreten Problemen, examine- und Lösungsstrategien in den Mittelpunkt stellen. Hierbei spielen insbesondere Beweise und Beweistechniken eine zentrale Rolle.

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Example text

V kennt u . Manchmal schreiben wir auch einfach (u, v) f¨ur eine Kante {u, v}. 11. Wir k¨onnen Graphen zeichnen, indem wir f¨ur jeden Knoten einen Punkt in die Ebene zeichnen und die Punkte durch eine Linie verbinden, wenn es die entsprechende Kante gibt. In der Abbildung sehen Sie einen Graphen mit 14 Knoten und 17 Kanten. 7 6 1 3 4 2 12 11 8 10 5 9 14 13 Man beachte aber, dass diese Skizze nur eine Visualisierung des abstrakten Objekts ist. Zum Beispiel f¨ur die algorithmische Behandlung speichern wir den Graphen als Listen V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}, E = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 6}, {6, 7}, {3, 7}, {3, 4}, {4, 5}, {2, 5}, {5, 11}, {11, 12}, {9, 12}, {9, 14}, {13, 14}, {10, 13}, {10, 11}, {8, 9}, {8, 10}} .

Dies sind ja genau die Permutationen der u¨ brigen n − k Elemente, also (n − k)! St¨uck. Die Menge aller Permutationen der Menge {1, . . , n} bezeichnen wir mit Sn . Sei f¨ur i = 1, . . , n : Ai := {σ ∈ Sn | σ (i) = i} . Dann ist D(n) = n! − |A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An |. 33) Ferner haben wir |Ai | = (n − 1)! und ist I ⊆ {1, . . , n}, dann ist Ai = (n − |I|)!. i∈I Setzen wir dies in das Prinzip von Inklusion und Exklusion ein, so erhalten wir, da es jeweils nk k -elementige Indexmengen gibt und die zugeh¨origen Schnitte alle die gleiche Kardinalit¨at haben: |A1 ∪ .

Sei V = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Wir betrachten die Graphen Gi = (V, Ei ) mit E1 := {(1, 4), (1, 6), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} E2 := {(1, 2), (1, 4), (2, 6), (2, 5), (2, 3), (3, 6)} E3 := {(1, 3), (1, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} E4 := {(1, 4), (1, 3), (2, 6), (5, 6), (3, 4), (3, 5)}. Zeichnen Sie die Graphen und entscheiden Sie, welche Graphen isomorph sind (mit Begr¨undung). 21. Wir wollen im Folgenden die Anzahl nicht isomorpher Graphen mit n Knoten absch¨atzen. Sei also V = {1, . .

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